RC 充电电路

当电压源施加到 RC 电路时,电容器 C 通过电阻 R 充电。

当向其施加直流(DC)或交流(AC)的信号或电压时,所有电气或电子电路或系统在其输入和输出之间有某种形式的“时间延迟”。

该延迟通常被称为电路的时间延迟时间常数,并且是当首次施加阶跃电压或信号时电路的时间响应。任何电子电路或系统的合成时间常数将主要取决于电容或电感连接的无功分量,并以 τ 为单位测量响应时间。

当 DC 电压施加到电容器 ,电容器吸收充电电流来充电,并且当电压降低时,电容器以相反的方向放电。由于电容器能够存储电能,因此它们就像小电池一样,可以根据需要存储或释放能量。

电容器极板上的电荷如下: Q = CV。电容器能量的充电(存储)和放电(释放)永远不会立即发生,但需要一定的时间,电容器充电或放电所需的时间在其最大电源值的一定百分比内,这被称为它的时间常数 ( τ)。

如果电阻器与形成 RC 电路的电容器串联连接,则电容器将逐渐通过电阻器充电,直到电容器两端的电压达到电源电压。时间也称为瞬态响应,电容器完全充电所需的时间相当于约 5 个时间常数或 5T。

该瞬态响应时间 T 以 τ = R×C (以秒为单位)来测量,其中 R 是以欧姆为单位的电阻器的值,C 是以法拉为单位的电容器的值。这就形成了 RC 充电电路的基础,5T 也就是 5×RC

RC 充电电路

下图显示了一个电容器 C 与一个电阻 R 串联形成一个 RC 充电电路,通过机械开关连接在直流电池电源( Vs)上。当开关闭合时,电容器将逐渐通过电阻器充电,直到其两端的电压达到电池的电源电压。电容器充电的方式也如下所示。

RC 充电电路

rc 充电电路

我们在上面假设,电容器 C 完全“放电”并且开关(S)完全打开。这些是电路的初始条件,然后 t = 0,i = 0 和 q = 0。当开关闭合时,时间从 t = 0 开始,电流开始通过电阻流入电容器。

由于电容器两端的初始电压为零,( Vc = 0),电容器似乎是外部电路的短路,并且最大电流流过仅受电阻器 R 限制的电路。然后通过使用基尔霍夫电压定律(KVL),电路周围的电压降如下:

$$ V_{S}-R \times i \left( t\right)-V_{C} \times i \left( t\right) = 0 $$

现在的当前周围电路中流动被称为充电电流,通过欧姆定律可以计算出: I = Vs / R。

RC 充电电路曲线

rc 充电电路曲线

电容器现在开始充电,如图所示,RC 充电曲线的上升在开始时更陡峭,因为充电速率在开始时最快,然后随着电容器以较慢的速率进行额外充电而逐渐减小。

随着电容器充电,其电路板上的电位差逐渐增加,电容器上的电荷达到其最大可能电压的 63% 所需的实际时间(在我们的曲线中 0.63V)被称为一个时间常数 T。

该 0.63Vs 电压点的缩写为 1T (一个时间常数)。

电容器继续充电向上 Vs 和 Vc 之间的电压差一直在降低。然后在其最终条件下,当电容器被称为完全充电时,大于五个时间常数(5T),t = ∞,i = 0,q = Q = CV。然后在无穷大处电流减小到零,电容器就像开路状态一样,电压降完全在电容器两端。

从数学上讲,我们可以说电容器充电到一个时间常数 1T 所需的时间如下:

RC 时间常数 τ

$$ \tau \equiv R \times C $$

该 RC 时间常数仅指定电荷率,其中 R 单位为 Ω,C 的单位为法拉。

由于电压 V 与由等式给出的电容器上的电荷相关,Vc = Q / C,在充电期间的任何时刻电容两端的电压( Vc)上的电压如下所示:

$$ \mathrm { Vc } = \mathrm { Vs } \left( 1 - \mathrm { e } ^ { - \mathrm { t } / \mathrm { RC } } \right) $$

其中 - Vc 是电容两端的电压 - Vs 是电源电压 - t 是自施加电源电压起经过的时间 - RC 是 RC 充电电路的时间常数

在相当于 4 个时间常数( 4T)的时间段之后,该 RC 充电电路中的电容器几乎完全充电,电容器两端的电压现在约为其最大值的 98%,即 0.98Vs。电容器达到 4T 点所需的时间称为瞬态周期

在 5T 的时间之后,电容器现在被完全充电,并且电容器两端的电压( Vc)等于电源电压( Vs)。当电容器充满电时,电路中不再有电流流过。该 5T 点之后的时间段称为稳态时间段

然后我们可以在下表中显示给定时间常数下 RC 充电电路中电容器的百分比电压和电流值。

RC 充电对照表

时间 RC 值 电压 电流
0.5 τ 0.5T = 0.5RC 39.3% 60.7%
0.7 τ 0.7T = 0.7RC 50.3% 49.7%
1.0 τ 1T = 1RC 63.2% 36.8%
2.0 τ 2T = 2RC 86.5% 13.5%
3.0 τ 3T = 3RC 95.0% 5.0%
4.0 τ 4T = 4RC 98.2% 1.8%
5.0 τ 5T = 5RC 99.3% 0.7%

注意,由于 RC 充电电路的充电曲线是指数的,实际上电容器由于存储在电容器中的能量而永远不会变为 100%完全充电。因此,出于所有实际目的,在五个时间常数之后,电容器被认为是完全充电的。

由于电容器 Vc 两端的电压随时间变化,并且在每个时间常数达到 5T 时是不同的值,我们可以在任何给定点计算电容器电压 Vc 的值,例如。

RC 充电电路示例 No1

计算以下电路的 RC 时间常数 τ。

rc 充电电路的例子

使用公式 T = R x C (秒)找到时间常数 τ。

因此,时间常数 τ 给出为: T = R x C = 47k×1000uF = 47 秒

a) 0.7 时间常数下电容两端的电压是多少?

在 0.7 时间常数( 0.7T)Vc = 0.5Vs。因此,Vc = 0.5×5V = 2.5V

b) 1 个时间常数下电容两端的电压值是多少?

在 1 时间常数( 1T)Vc = 0.63Vs。因此,Vc = 0.63×5V = 3.15V

c) 电容器完全充电需要多长时间?

电容器将以 5 个时间常数充满电。

1 时间常数( 1T)= 47 秒,(从上面)。因此,5T = 5×47 = 235 秒

d) 100 秒后电容器两端的电压?

电压公式为 Vc = V(1 - e-t/RC

等于: Vc = 5(1-e-10047) 从上面已知 RC = 47 秒,因此,Vc = 4.4 伏

我们已经看到电容器上的电荷由下式给出: Q = CV,并且当电压首先施加到电容器的极板时,它以由其时间常数 τ 确定的速率充电。

在下一个教程中,我们将检查放电电容器的电流 - 电压关系,并在电容器板短接在一起时查看与之相关的曲线。