无源低通滤波器

低通滤波器是一种电路，可用于修改，重塑或拒绝所有不需要的高频电信号，并接受或仅传递电路设计者所需的信号。

换句话说，它们滤除不需要的信号，理想滤波器将基于其频率分离并传递正弦输入信号。在低频应用（高达 100kHz）中，无源滤波器通常使用简单的 RC （电阻 - 电容）网络构建，而高频滤波器（100kHz 以上）通常由 RLC （电阻 - 电感 - 电容）元件构成。

无源滤波器由无源元件组成，如电阻，电容和电感，没有放大元件（晶体管，运算放大器等），因此没有信号增益，因此它们的输出电平始终小于输入。

滤波器根据它们允许通过它们的信号的频率范围来命名，同时阻挡或“衰减”其余信号。最常用的滤波器设计是：

• 低通滤波器 - 低通滤波器只允许低频信号从 0Hz 到其截止频率 ƒc 通过，同时阻止那些更高的频率。
• 高通滤波器 - 高通滤波器仅允许高频信号从其截止频率 ƒc 开始到无限高频通过，同时阻止任何更低的信号。
• 带通滤波器 - 带通滤波器允许在两点之间设置的特定频带内的信号通过，同时阻挡该频带两侧的较低和较高频率。

简单的一阶无源滤波器（一阶）可以通过将单个电阻器和单个电容器串联连接在一起，输入信号（VIN）与滤波器的输出（VOUT ） 连接在一起。

根据我们将电阻器和电容器连接到输出信号的方式，决定了滤波器结构的类型，从而产生低通滤波器或高通滤波器。

由于任何滤波器的功能是允许给定频带的信号不变地通过，同时衰减或弱化所有其他不需要的频率，我们可以通过使用理想的频率响应曲线来定义理想滤波器的幅度响应特性。四种基本滤波器类型如图所示。

理想的滤波器响应曲线

滤波器可分为两种不同的类型：有源滤波器和无源滤波器。有源滤波器包含放大装置以增加信号强度，而无源滤波器不包含放大装置以增强信号。由于无源滤波器设计中存在两个无源分量，因此输出信号的幅度小于其对应的输入信号，因此无源 RC 滤波器衰减信号并且增益小于 1。

低通滤波器可以是电容，电感或电阻的组合，旨在产生高于指定频率的高衰减，并且在该频率以下很少或没有衰减。发生转变的频率称为“截止”或“拐角”频率。

最简单的低通滤波器由电阻器和电容器组成，但更复杂的低通滤波器具有串联电感器和并联电容器的组合。在本教程中，我们将介绍最简单的类型，无源双元件 RC 低通滤波器。

低通滤波器

简单的无源 RC 低通滤波器或 LPF 可以通过将单个电阻器与单个电容器串联在一起而轻松制作，如下所示。在这种类型的滤波器布置中，输入信号（VIN ）被施加到串联组合（电阻器和电容器一起），但输出信号（VOUT ）仅在电容器上。

这种类型的滤波器通常称为“一阶滤波器”或“单极滤波器”，为什么是一阶或单极？，因为它在电路中只有“一个”无功分量即电容器。

RC 低通滤波器电路

如前面电容电抗教程中所述，电容的电抗与频率成反比，而电阻值随频率的变化保持不变。在低频时，与电阻器 R 的电阻值相比，电容器的容抗（XC ）将非常大。

这意味着电容器两端的电压电位 VC 将远大于电阻器上产生的电压降 VR. 在高频时，反之亦然，VC 很小，并且由于容抗电容值的变化，VR 很大。

虽然上面的电路是 RC 低通滤波器电路，但它也可以被认为是一个频率相关的可变分压器电路，类似于我们在电阻器教程中看到的那样。在该教程中，我们使用以下公式计算串联连接的两个单个电阻的输出电压。

$$ \mathrm { V } _ { \mathrm { out } } = \mathrm { V } _ { \mathrm { in } } \times \frac { \mathrm { R } _ { 2 } } { \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } } $$

我们也知道交流电路中电容器的容抗是：

$$ \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { f } \mathrm { C } } \quad \mathrm { \Omega } $$

反向交流电路中的电流称为阻抗，符号 Z，对于由单个电阻与单个电容串联组成的串联电路，电路阻抗计算如下：

$$ Z = \sqrt { R ^ { 2 } + X _ { C } ^ { 2 } } $$

然后通过将我们的等式中的阻抗代入电阻分压器方程，我们得到：

RC 电势分压方程

$$ \mathrm { V } _ { \mathrm { out } } = \mathrm { V } _ { \mathrm { in } } \times \frac { \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } ^ { 2 } } } = \mathrm { V } _ { \mathrm { in } } \frac { \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } } { \mathrm { Z } } $$

因此，通过使用串联的两个电阻器的分压器方程并代替阻抗，我们可以计算任何给定频率的 RC 滤波器的输出电压。

低通滤波器示例 No1

低通滤波器组成电路为，4.7 kΩ 电阻跟 47nF 的电容串联，接到一个 10v 的正弦电源。计算频率为 100Hz 时的输出电压（ VOUT ），然后再计算频率为 10,000Hz 或 10kHz 时的情况。

电压输出频率为 100Hz

$$ \mathrm { Xc } = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { f } \mathrm { C } } = \frac { 1 } { 2 \pi \times 100 \times 47 \times 10 ^ { - 9 } } = 33,863 \Omega $$

$$ \mathrm { V } _ { \mathrm { ouT } } = \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } \times \frac { \mathrm { Xc } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } ^ { 2 } } } = 10 \times \frac { 33863 } { \sqrt { 4700 ^ { 2 } + 33863 ^ { 2 } } } = 9.9 \mathrm { v } $$

电压输出频率为 10,000Hz(10kHz)

$$ \mathrm { X } _ { \mathrm { c } } = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { f } \mathrm { C } } = \frac { 1 } { 2 \pi \times 10,000 \times 47 \times 10 ^ { - 9 } } = 338.6 \Omega $$

$$ \mathrm { V } _ { \mathrm { ouT } } = \mathrm { V } _ { \mathrm { II } } \times \frac { \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } } { \sqrt { \mathrm { R } ^ { 2 } + \mathrm { X } _ { \mathrm { C } } ^ { 2 } } } = 10 \times \frac { 338.6 } { \sqrt { 4700 ^ { 2 } + 338.6 ^ { 2 } } } = 0.718 \mathrm { v } $$

频率响应

从上面的结果我们可以看出，当施加到 RC 网络的频率从 100Hz 增加到 10kHz 时，电容上的电压下降，电路的输出电压（ VOUT ）从 9.9v 降低到 0.718v。

通过将网络输出电压绘制成不同的输入频率值，可以找到低通滤波器电路的频率响应曲线或波德图功能，如下所示。

一阶低通滤波器的频率响应

波特图显示滤波器的频率响应对于低频几乎是平坦的，并且所有输入信号都直接传递到输出，导致增益接近 1，称为单位响应，直到达到其截止频率点（ ƒc ）。这是因为电容器的电抗在低频时很高，并阻止任何电流流过电容器。

在该截止频率点之后，电路的响应在 -20dB / Decade 或（-6dB / Octave）“滚降” 的斜率下减小到零。请注意，对于任何 RC 组合，斜率的角度，此 -20dB / Decade 滚降斜率将始终相同。

在该截止频率点之上施加到低通滤波器电路的任何高频信号将变得极大地衰减，即它们迅速减小。发生这种情况是因为在非常高的频率下，电容器的电抗变得很低，以至于它在输出端子上产生短路条件的效果，导致零输出。

然后通过仔细选择正确的电阻 - 电容组合，我们可以创建一个 RC 电路，允许低于某个值的频率范围通过电路不受影响，同时应用于该截止点​以上的电路的任何频率都会衰减，这就是低通滤波器。

对于这种类型的低通滤波器电路，低于此截止频率的所有频率，ƒc 点在未衰减很小或没有衰减的情况下被称为滤波器通带区域。该通带区域也表示滤波器的带宽。高于该点截止点的任何信号频率通常被称为在滤波器阻带区域中，并且它们将被大大衰减。

该截止，拐角或断点频率被定义为容抗和电阻相等的频率点，R = Xc =4.7kΩ。发生这种情况时，输出信号衰减到输入信号值的 70.7% 或输入的 -3dB （20 log（Vout / Vin））。虽然 R = Xc，但输出不是输入信号的一半。这是因为它等于两者的矢量和，因此是输入的 0.707。

作为滤波器包含一个电容器，输出信号的相位角 Φ 滞后于输入信号，并在 -3dB 截止频率时，有 -45o 的相位滞后。这是由于在输入电压变化时对电容器极板充电所花费的时间，导致输出电压（电容器两端的电压）落后于输入信号的电压。施加到滤波器的输入频率越高，电容器滞后越多，电路变得越来越异相。

截止频率点和相移角可以通过以下等式找到：

截止频率和相移

$$ { f \mathrm { c } = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { RC } } = \frac { 1 } { 2 \pi \times 4700 \times 47 \times 10 ^ { - 9 } } = 720 \mathrm { Hz } }
$$

$$ { \text { Phase Shift } \varphi = - \arctan ( 2 \pi f \mathrm { RC } ) } $$

然后我们一上面例子中的低通滤波器电路中，截止频率（ ƒc ）为 720Hz，此时输出电压为输入电压值 70.7%，输出电压有一个相移角 -45o。

二阶低通滤波器

到目前为止，我们已经看到，通过将单个电阻器与单个电容器串联连接，可以得到简单的一阶 RC 低通滤波器。该单极配置为我们提供了截止点以上的频率的 -20dB /Decade 的衰减的滚降斜率 ƒ-3dB。然而，有时在滤波器电路中，斜率的 -20dB /decade（-6dB /octave）角度可能不足以去除不需要的信号，因此可以使用两级滤波，如图所示。

二阶低通滤波器

上述电路使用两个无源一阶低通滤波器连接或“级联”在一起形成二阶或两极滤波器网络。因此，我们可以看到，通过简单地向其添加额外的 RC 网络，可以将一阶低通滤波器转换为二阶类型，并且我们添加的更多 RC 阶段变为滤波器的阶数。

如果很多（N）个 RC 电路级联在一起，所得到的 RC 滤波电路将被称为 N 阶滤波器，其滚降斜率为 N x -20dB /decade。

因此，例如，二阶滤波器的斜率为 -40dB / decade（-12dB /octave），四阶滤波器的斜率为 -80dB / decade（-24dB /octave），依此类推。这意味着，随着滤波器的阶数增加，滚降斜率变得更陡峭，并且滤波器的实际阻带响应接近其理想的阻带特性。

第二阶滤波器是很重要的，被广泛应用于滤波器设计，因为当使用一阶滤波器组合任何较高阶次 n 阶滤波器可以使用它们来设计。例如，通过将第一和第二低通滤波器串联或级联在一起来形成三阶低通滤波器。

但是 RC 滤波器阶段也存在一个缺点，尽管可以形成的滤波器的顺序没有限制，但随着阶数的增加，最终滤波器的增益和精度下降。

当相同的 RC 滤波器级级联在一起时，在所需的截止频率下的输出增益相对于用作滚降斜率增加的滤波器级的数量减少（衰减）。我们可以使用以下公式定义所选截止频率的衰减量。

ƒc 的无源低通滤波器增益

$$ \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) ^ { n } $$

其中 n 是滤波器的阶数。

因此对于二阶无源低通滤波器，截至频率 ƒc 的增益将等于 0.7071 x 0.7071 = 0.5Vin（-6dB），三阶无源低通滤波器将等于 0.353Vin（-9dB），四阶将为 0.25Vin（-12dB），依此类推。二阶无源低通滤波器的转角频率 ƒc 由电阻/电容（RC）组合决定，并如下所示，

二阶滤波器转角频率

$$ f _ { \mathrm { C } } = \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { \mathrm { R } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { R } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 2 } } } \mathrm { Hz } $$

实际上，随着滤波器级并因此其滚降斜率增加，低通滤波器 -3dB 转角频率点并且因此其通带频率从其上面的原始计算值改变由以下等式确定的量。

二阶低通滤波器 -3dB 频率

$$ f _ { ( - 3 d B ) } = f _ { c } \sqrt { 2 ^ { \frac { 1 } { n } } - 1 } $$

其中 ƒc 是所计算出的截止频率，n 是滤波器阶数，以及 ƒ-3dB 是新的 -3dB 通带频率，它是滤波器阶数增加的结果。

然后假设相同的 -3dB 截止点的二阶低通滤波器的频率响应（波特图）看起来像：

二阶低通滤波器的频率响应

实际上，由于每个滤波器阶数的动态阻抗影响其相邻网络，因此难以精确地实现级联无源滤波器以产生更大阶滤波器。然而，为了降低负载效应，我们可以使每个后续级的阻抗是前一级的 10 倍多，因此 R2 = 10 x R1 和 C2 = 1/10 C1。二阶及以上滤波器网络通常用于运算放大器的反馈电路中，来得到通常被称为有源滤波器或 RC 振荡器电路中的相移网络。

低通滤波器摘要

因此，总结下，低通滤波器具有从 DC 开始一个恒定的输出电压，直到指定的截止频率（ ƒC ）点。该截止频率点是允许通过的电压增益的 0.707 或 -3dB （dB = -20log * VOUT / IN ）。

当允许输入信号通滤波波器时，低于该截止点 fC 的频率范围通常称为通带。当输入信号被阻止或阻止通过时，该截止点“上方”的频率范围通常被称为阻带。

可以使用单个电阻器与输入信号 Vin 上的单个非极化电容器（或任何单个无功分量）串联来制造简单的一阶低通滤波器，同时从电容器两端获取输出信号 Vout。

截止频率或 -3dB 点，可使用标准公式 ƒc= 1 /(2πRC)找到。输出信号的相位角为 ƒc，对于低通滤波器为 -45o。

滤波器或任何滤波器的增益通常用分贝表示，并且是输出值除以其相应输入值的函数，并如下所示：

$$ \text {Gain in } d B = 20 \log \frac { V o u t } { V i n } $$

无源低通滤波器的应用在音频放大器和扬声器系统中，以将低频低音信号引导到较大的低音扬声器或减少任何高频噪声或“嘶嘶声”类型失真。当在音频应用中像这样使用时，低通滤波器有时被称为“高切”或“高音切割”滤波器。

如果我们要反转电路中电阻器和电容器的位置，以便现在从电阻器两端获取输出电压，我们将得到一个产生类似于高通滤波器的输出频率响应曲线的电路，以及这将在下一个教程中讨论。

时间常数

到目前为止，我们一直对低通滤波器在受到正弦波形时的频率响应感兴趣。我们还看到滤波器的截止频率（ƒc）是电路中电阻（R）和电容（C）相对于某个指定频率点的乘积，通过改变两个元件中的任何一个来改变这个截止频率点可以通过增加它或减少它来实现。

我们还知道，由于在正弦波变化时对电容器充电然后放电所需的时间，电路的相移滞后于输入信号的相移。R 和 C 的这种组合在电容器上产生充电和放电效应，称为电路的时间常数 （τ），如 RC 电路教程中所介绍的，为滤波器提供时域响应。

时间常数 τ 与截止频率ƒc 有关：

$$ \tau = R C = \frac { 1 } { 2 \pi f c } $$

或以截止频率 ƒc 来表示为：

$$ f _ { C } = \frac { 1 } { 2 \pi R C } \text { or } \frac { 1 } { 2 \pi \tau } $$

输出电压 VOUT 取决于时间常数和输入信号的频率。随着时间平滑变化的正弦信号，电路表现为一个简单的一阶低通滤波器，如上所述。

但是，如果我们要将输入信号更改为具有几乎垂直阶跃输入的方波形状 ON/OFF 类型的信号，那么现在我们的滤波器电路会发生什么。电路的输出响应将发生显着变化，并产生另一种通常称为积分器的电路。

RC 积分器

该积分器基本上是一个低通滤波器电路在一个方波阶跃响应输入信号转换成作为电容器充电和放电的三角形状的波形输出的时域中操作。三角波形由交变但相等的正负斜坡信号组成。

如下所示，如果 RC 时间常数与输入波形的时间周期相比较长，则所得的输出波形将是三角形的，并且输入频率越高，输出幅度与输入的输出幅度相比越低。

RC 积分电路

这使得这种类型的电路非常适合于将一种类型的电子信号转换成另一种类型的电子信号，以用于波形发生或波形整形电路。