RC 積分器

RC 積分器是串聯的 RC 網路，其產生對應於積分的數學過程的輸出訊號。

對於無源 RC 積分器電路，輸入連線到電阻，而輸出電壓取自電容器，與 RC 微分電路完全相反。輸入為高電平時電容器充電，輸入電壓低時放電。

在電子學中，基本串聯電阻 - 電容（RC）電路具有從基本充電/放電電路到高階濾波器電路的許多用途和應用。這個雙元件無源 RC 電路可能看起來很簡單，但是根據所施加的輸入訊號的型別和頻率，該基本 RC 電路的行為和響應可能非常不同。

無源 RC 網路只不過是與電容器串聯的電阻器，即與電容器串聯的固定電阻，其具有頻率相關的電抗，其隨著其板上的頻率增加而減小。因此，在低頻時，電容的電抗 Xc 很高，而在高頻時，由於 Xc = 1 /（2πC）的標準電容電抗公式，其電抗很低，我們在關於無源低通濾波器的教程中看到了這種效應。

然後，如果輸入訊號是正弦波，RC 積分器將簡單地充當低通濾波器（Low Pass Filter），其截止或轉角頻率對應於串聯網路的 RC 時間常數（τ）和其輸出降低到此截止頻率點以上。因此，當用純正弦波饋電時，RC 積分器充當無源低通濾波器。

正如我們之前所見，RC 時間常數反映了電阻和電容之間的關係，時間以秒為單位，與電阻 R 和電容 C 成正比。

因此，充電或放電的速率取決於 RC 時間常數，τ= RC。考慮下面的電路。

RC 積分器

對於 RC 積分電路，輸入訊號被施加到與電容器兩端取輸出的阻力，則 VOUT 等於 VC。由於電容器是頻率相關元件，所以在板上建立的電荷量等於電流的時域積分。也就是說，電容器完全充電需要一定的時間，因為電容器不能瞬間充電，只能指數充電。

因此，電容器電流可寫為：

上述 iC = C（dVc / dt）的基本方程也可以表示為電荷的瞬時變化率，Q 相對於時間給出以下標準方程： iC = dQ / dt 其中電荷 Q = C x Vc，即電容乘以電壓。

電容器充電（或放電）的速率與電阻和電容的量成正比，給出電路的時間常數。因此，RC 積分電路的時間常數是等於 R 和 C 的乘積的時間。

由於電容等於 Q / Vc，其中電荷 Q 是電流（i）在一定時間 (t) 內的流動，即 i x t 的乘積，從歐姆定律我們知道電壓（V）相等對於 i x R，將這些代入 RC 時間常數的等式給出：

RC 時間常數

然後我們可以看到，當 i 和 R 都抵消時，只有 T 表示 RC 積分器電路的時間常數具有以秒為單位的時間維度，用希臘字母 τ 來表示。請注意，此時間常數反映了電容器充電至最大電壓的 63.2％或放電至最大電壓的 36.8％所需的時間（以秒為單位）。

電容器電壓

我們此前曾表示，為 RC 積分，輸出等於電容兩端的電壓，即為：VOUT 等於 VC。該電壓與電荷成比例，Q 儲存在由下式給出的電容器上：Q = VxC。

結果是輸出電壓是輸入電壓的積分，積分量取決於 R 和 C 的值，因此取決於網路的時間常數。

我們在上面看到，電容器電流可以表示為電荷變化率 Q 相對於時間。因此，根據微積分的基本規則，Q 相對於時間的導數是 dQ / dt，並且當 i = dQ / dt 時，我們得到以下關係：

Q =∫idt （任何時刻電容器上的電荷 Q）

由於輸入連線到電阻器，相同的電流，我必須通過電阻器和電容器（iR = iC） ，在電阻器兩端產生 VR 電壓降，因此電流，（i）流過該 RC 網路如下所示：

因此：

因為 i = VIN / R 時，替換和重新排列以求解 VOUT 作為時間的函式給出：

換句話說，RC 積分電路的輸出，即電容兩端的電壓等於輸入電壓的時間積分 VIN 加權 1 / RC 的常數。其中 RC 代表時間常數 τ。

然後假設電容器上的初始電荷為零，即 VOUT = 0，輸入電壓 VIN 恆定，輸出電壓 VOUT 在時域中表示為：

RC 積分器公式

因此，RC 積分器電路是輸出電壓 VOUT 與輸入電壓的積分成正比的電路，考慮到這一點，讓我們看看當我們以階躍電壓的形式施加單個正脈衝時會發生什麼。RC 積分電路。

單脈衝 RC 積分器

當單級電壓脈衝施加到 RC 積分器的輸入端時，電容器響應脈衝通過電阻器充電。然而，輸出不是瞬時的，因為電容器兩端的電壓不能瞬間改變，而是隨著電容器以由 RC 時間常數 τ= RC 確定的速率充電而呈指數增加。

我們現在知道電容器充電或放電的速率取決於電路的 RC 時間常數。如果施加理想的階躍電壓脈衝，即前沿和後沿被認為是瞬時的，則電容器兩端的電壓將隨充電而增加，並隨著時間的推移而逐漸減小，其速率由下式確定：

電容器充電

電容器放電

注意，在 5 個時間常數或更長時間後，電容器被認為是 100％完全充電或完全放電。

現在讓我們假設我們有一個 RC 積分器電路，由一個 100kΩ 電阻和一個 1uF 電容組成，如圖所示。

RC 積分電路示例

因此，RC 積分電路的時間常數 τ 為：RC =100kΩ×1uF = 100ms。

因此，如果我們將一個階躍電壓脈衝施加到輸入端，其持續時間為兩個時間常數（200mS），那麼從上表中可以看出電容器將充電至其完全充電值的 86.4％。如果該脈衝具有 10 伏的幅度，那麼這相當於 8.64 伏，然後當輸入脈衝返回到零時，電容器再次通過電阻器放電回到源。

如果我們假設電容器允許在 5 個時間常數的時間內完全放電，或者在下一個輸入脈衝到達之前 500mS，那麼充電和放電曲線圖將如下所示：

RC 積分器充電/放電曲線

注意，電容器的初始值為 8.64 伏（2 個時間常數），而不是 10 伏輸入。

然後我們可以看到，當 RC 時間常數固定時，輸入脈衝寬度的任何變化都會影響 RC 積分電路的輸出。如果脈衝寬度增加並且等於或大於 5RC，則輸出脈衝的形狀將類似於輸入的形狀，因為輸出電壓達到與輸入相同的值。

然而，如果脈衝寬度減小到 5RC 以下，則電容器將僅部分充電而未達到最大輸入電壓，從而導致較小的輸出電壓，因為電容器不能充電，導致輸出電壓與輸入的積分成比例電壓。

因此，如果我們假設輸入脈衝等於一個時間常數，即 1RC，則電容器將在 0 伏特和 10 伏特之間充電和放電，但在變化時電容器兩端的電壓的 63.2％和 38.7％之間。請注意，這些值由 RC 時間常數確定。

固定 RC 積分器時間常數

因此，對於連續脈衝輸入，輸入的週期時間與電路的 RC 時間常數之間的正確關係，輸入的積分將產生一種斜升，然後產生斜降輸出。但是為了使電路作為積分器正常工作，RC 時間常數的值必須大於輸入週期時間。那是 RC»T，通常是 10 倍。

這意味著輸出電壓的大小（與 1 / RC 成比例）在高壓和低壓之間將非常小，嚴重衰減輸出電壓。這是因為電容器在脈衝之間充電和放電的時間要少得多，但平均輸出直流電壓將增加到輸入的一半，在上面的脈衝示例中，這將是 5 伏（10/2）。

RC 積分器作為正弦波發生器

我們已經在上面看到，RC 積分器電路可以通過施加脈衝輸入來執行積分操作，從而由於電容器的充電和放電特性而導致斜升和斜降三角波輸出。但是如果我們改變過程並將三角波形應用於輸入會發生什麼，我們會得到脈衝或方波輸出嗎？

當 RC 積分電路的輸入訊號是脈衝形輸入時，輸出是三角波。但是當我們應用三角波時，由於斜坡訊號隨時間的積分，輸出變為正弦波。

有許多方法可以產生正弦波形，但是電子產生正弦波型波形的一種簡單而廉價的方法是使用一對串聯連線在一起的無源 RC 積分電路，如圖所示。

正弦波 RC 積分器

這裡，第一個 RC 積分器將原始脈衝整形輸入轉換為斜升和斜降三角波形，該波形成為第二個 RC 積分器的輸入。第二個 RC 積分器電路將三角波形的點對齊，將其轉換為正弦波，因為它有效地對原始輸入訊號執行雙積分，RC 時間常數影響積分程度。

由於斜坡的積分產生正弦函式（基本上是舍入的三角波形），其以赫茲為單位的週期頻率將等於原始脈衝的週期 T. 另請注意，如果我們反轉此訊號並且輸入訊號是正弦波，則電路不會充當積分器，而是作為具有正弦波的簡單低通濾波器（LPF），純波形不會改變形狀，只有它的幅度受到影響。

RC 積分器摘要

我們在這裡看到 RC 積分器基本上是一個串聯 RC 低通濾波器電路，當一個階躍電壓脈衝施加到其輸入端時，產生的輸出與其輸入的積分成比例。這產生的標準方程： VO =∫Vi DT 其中 Vi 是供給到積分器的訊號和 V 0 是積分輸出訊號。

輸入階躍函式的積分產生類似三角斜坡函式的輸出，其幅度小於原始脈衝輸入的幅度，衰減量由時間常數確定。因此，輸出波形的形狀取決於電路的時間常數與輸入脈衝的頻率（週期）之間的關係。

RC 積分器的時間常數總是與輸入的週期 T 進行比較，因此長的 RC 時間常數將產生與輸入訊號相比具有低幅度的三角波形狀，因為電容器具有較少的完全充電或放電時間。短時間常數允許電容器更多時間充電和放電，產生更典型的圓形形狀。

通過將兩個 RC 積分器電路並聯連線，可以實現對輸入脈衝的雙重積分。這種雙重積分的結果是第一積分電路將階躍電壓脈衝轉換成三角波形，第二積分電路通過舍入三角波形的點來轉換三角波形，產生正弦波輸出波形，大大減少振幅。