約束非線性優化

問題陳述 ：

找到函式 f(x,y) 的最小值（超過 x，y），取決於 g(x,y)=0，其中 f(x,y) = 2 * x**2 + 3 * y**2 和 g(x,y) = x**2 + y**2 - 4。

解決方案 ：我們將通過執行以下步驟來解決此問題：

1. 為問題指定拉格朗日函式
2. 確定 Karush-Kuhn-Tucker(KKT) 條件
3. 找到滿足 KKT 條件的 (x,y) 元組
4. 確定哪些 (x,y) 元組對應於 f(x,y) 的最小值

首先，定義優化變數以及目標和約束函式：

import sympy as sp
x, y = sp.var('x,y',real=True);
f = 2 * x**2 + 3 * y**2
g = x**2 + y**2 - 4

接下來，定義拉格朗日函式，其包括對應於約束的拉格朗日乘數 lam

lam = sp.symbols('lambda', real = True)
L = f - lam* g

現在，我們可以計算對應於 KKT 條件的方程組。

gradL = [sp.diff(L,c) for c in [x,y]] # gradient of Lagrangian w.r.t. (x,y)
KKT_eqs = gradL + [g]
KKT_eqs

[-2*lambda*x + 4*x, -2*lambda*y + 6*y, x**2 + y**2 - 4]

f（給定 g=0）的潛在最小化是通過解決 KKT_eqs 方程得到的 x，y，lam：

stationary_points = sp.solve(KKT_eqs, [x, y, lam], dict=True) # solve the KKT equations
stationary_points 

[{x: -2, y: 0, lambda: 2},
 {x: 2, y: 0, lambda: 2},
 {x: 0, y: -2, lambda: 3},
 {x: 0, y: 2, lambda: 3}]

最後，檢查上述每個點的目標函式以確定最小值

[f.subs(p) for p in stat_points]

[8, 8, 12, 12]

由此得出，f 的約束最小值等於 8 並且在 (x,y)=(-2,0) 和 (x,y)=(2,0) 處實​​現。