傅立葉級數和變換

傅立葉變換將時間（訊號）的函式分解成構成它的頻率，類似於音樂和絃如何表示為其構成音符的幅度（或響度）。時間函式的傅立葉變換本身是頻率的復值函式，其絕對值表示原始函式中存在的頻率的量，並且其複數引數是該頻率中的基本正弦曲線的相位偏移。

傅立葉變換稱為原始訊號的頻域表示。術語傅立葉變換指的是頻域表示和將頻域表示與時間函式相關聯的數學運算。傅立葉變換不限於時間函式，但是為了具有統一語言，原始函式的域通常被稱為時域。對於許多實際感興趣的函式，可以定義一個反轉它的操作：頻域表示的逆傅立葉變換，也稱為傅立葉合成，組合所有不同頻率的貢獻以恢復原始時間函式。

在一個域（時間或頻率）中執行的線性操作在另一個域中具有相應的操作，這有時更容易執行。時域中的微分運算對應於頻率的乘法，因此一些微分方程在頻域中更容易分析。此外，時域中的卷積對應於頻域中的普通乘法。具體地說，這意味著任何線性時不變系統，例如應用於訊號的電子濾波器，可以相對簡單地表示為頻率上的操作。因此，通常通過將時間函式轉換到頻域，執行期望的操作以及將結果轉換回時間來實現顯著的簡化。

諧波分析是頻率和時域之間關係的系統研究，包括在一個或另一箇中更簡單的功能或操作型別，並且與現代數學的幾乎所有領域有著深刻的聯絡。

在時域中定位的函式具有遍及頻域的傅立葉變換，反之亦然。關鍵的情況是高斯函式，在概率論和統計學中以及在表現出正態分佈（例如，擴散）的物理現象的研究中具有重要意義，其在傅立葉變換下具有適當的歸一化。Joseph Fourier 在他的傳熱研究中介紹了這種變換，其中高斯函式作為熱傳導方程的解。

傅立葉變換可以被正式定義為不適當的黎曼積分，使其成為一個整數變換，儘管這個定義不適合需要更復雜的積分理論的許多應用。

例如，許多相對簡單的應用程式使用 Dirac delta 函式，它可以正式處理，就像它是一個函式一樣，但是理由需要數學上更復雜的觀點。傅立葉變換也可以推廣到歐幾里德空間上的幾個變數的函式，將三維空間的函式傳送到三維動量的函式（或者空間和時間的函式到 4 動量的函式）。

這種想法使得空間傅立葉變換在波的研究以及量子力學中非常自然，其中重要的是能夠將波解表示為空間或動量的函式，有時兩者都是。通常，傅立葉方法適用的函式是復值的，並且可能是向量值的。對群上函式的進一步推廣是可能的，除了在ℝ或 originaln 上的原始傅立葉變換（在加法下看作為群）之外，還特別包括離散時間傅立葉變換（DTFT，group =ℤ），離散傅立葉變換（ DFT，group =ℤmodN）和傅立葉級數或圓形傅立葉變換（組= S1，單位圓≈封閉的有限區間，其中識別出端點）。後者通常用於處理週期性功能。