状态变量滤波器

状态变量滤波器是一种多路反馈滤波电路，可以同时从同一个单个有源滤波器设计中产生所有三个滤波器响应，低通，高通和带通。

状态可变滤波器使用三个（或更多）运算放大器电路（有源元件）级联在一起以产生单独的滤波器输出，但如果需要，还可以添加额外的求和放大器以产生第四个陷波滤波器输出响应。

状态可变滤波器是二阶 RC 有源滤波器，由两个相同的运算放大器积分器组成，每个积分器用作一阶单极点低通滤波器，一个求和放大器，我们可以在其周围设置滤波器增益及其阻尼反馈网络。来自所有三个运算放大器级的输出信号反馈到输入，允许我们定义电路的状态。

一个状态变量滤波器设计的主要优点是，所有三个滤波器主要参数，增益（ A ），角频率，ƒC 和滤波器 Q 可以在不影响滤波器性能独立设置。

事实上，如果设计正确，低通幅度响应和高通幅度响应的 -3dB 截止频率（ ƒc ）应与带通级的中心频率点相同。即 ƒLP（-3dB） 等于 ƒHP（-3dB） 等于 ƒBP(center)。此外，带通滤波器响应的阻尼因子（ ζ ）应等于 1 / Q，因为 Q 将设置为-3dB (0.7071)。

虽然滤波器提供低通（LP），高通（HP）和带通（BP）输出，但这种滤波器电路的主要应用是作为状态可变带通滤波器设计，其中心频率由两个 RC 整数设定。

虽然我们之前已经看到带通滤波器的特性可以通过简单地将低通滤波器与高通滤波器级联在一起获得，但状态可变带通滤波器的优势在于它们可以被调谐为高选择性（高 Q）提供中心频率点的高增益。

有几种状态可变滤波器设计可用，所有这些都基于标准滤波器设计，可提供反相和非反相变化。但是，基本滤波器设计对于两种变化都是相同的，如下面的框图表示所示。

状态变量滤波器框图

然后我们可以从上面的基本框图中看到，状态变量滤波器有三个可能的输出，VHP，VBP 和 VLP，每个输出来自三个运算放大器。通过增加第四个运算放大器也可以实现陷波滤波器响应。

在恒定输入电压下，求和放大器输出的 VIN 产生高通响应，该响应也成为第一个 RC 积分器的输入。该积分器的输出产生带通响应，该响应成为第二个 RC 积分器的输入，在其输出端产生低通响应。结果，可以找到关于输入电压的每个单独输出的单独传递函数。

因此，基本的非反相状态变量滤波器设计如下：

状态可变滤波器电路

并且状态变量滤波器的三个输出的幅度响应将如下所示：

状态变量滤波器的归一化响应

状态变量滤波器的主要设计元素之一是使用两个运算放大器积分器。正如我们在积分器教程中看到的那样，运算放大器集成器在其反馈环路中使用电容形式的频率相关阻抗。当使用电容器时，输出电压与输入电压的积分成比例，如图所示。

运算放大器集成电路

$$ \mathrm { V } _ { \mathrm { OUT } } = - \frac { 1 } { \mathrm { R } \mathrm { C } } \int _ { 0 } ^ { \mathrm { t } } \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } \mathrm { dt } $$ 为了简化数学运算，还可以在频域中重写为：

输出电压 Vout 是输入电压 Vin 相对于时间的积分的常数 1/RC 倍。积分器产生相位滞后，负号（ - ）表示 180° 相移，因为输入信号直接连接到运算放大器的反相输入端。

在上述运算放大器 A2 的情况下，其输入信号连接到前一个运算放大器 A1 的输出，因此其输入为 VHP，输出为 VBP。然后从上面，运算放大器 A2 的表达式可以写成：

然后通过重新排列该公式，我们可以找到反相积分器 A2 的传递函数。

运算放大器 A2 传递函数

$$ \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { OUT } } } { \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { BP } } } { \mathrm { V } _ { \mathrm { HP } } } = - \frac { 1 } { 2 \pi f _ { \mathrm { C } } \mathrm { RC } } $$

基于完全相同的假设，我们可以找到另一个运算放大器积分器 A3 的传递函数

运算放大器 A3 传递函数

$$ \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { OUT } } } { \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } } = \frac { V _ { \mathrm { LP } } } { V _ { \mathrm { BP } } } = - \frac { 1 } { 2 \pi f _ { \mathrm { C } } \mathrm { RC } } $$

因此，两个运算放大器积分器 A2 和 A3 以级联方式连接在一起，因此第一个（ VBP ）的输出成为第二个输入。因此我们可以看到带通响应是通过积分高通响应产生的，低通响应是通过积分带通响应产生的。因此，VHP 和 VLP 之间的传递函数如下：

$$ \frac { V _ { L P } } { V _ { H P } } = - \frac { 1 } { 2 \pi f _ { C } R C } \times - \frac { 1 } { 2 \pi f _ { C } R C } = \frac { 1 } { \left( 2 \pi f _ { c } R C \right) ^ { 2 } } $$

注意，每个积分器级提供反相输出，因为它们是反相积分器，但总和输出将为正。如果使用完全相同的 R 和 C 值使得两个电路具有相同的积分器时间常数，则可以将两个放大器电路视为具有截止频率 fC 的单个积分器电路。

与两个积分器电路一样，滤波器还具有差分求和放大器，提供其输入的加权求和。这里的优点是，求和放大器 A1 的输入将振荡反馈，阻尼和输入信号组合到滤波器，因为所有三个输出都被反馈到求和输入。

放大器求和电路

运算放大器 A1 连接为加法器 - 减法器电路。也就是说，它将输入信号 VIN 与运算放大器 A2 的 VBP 输出相加，并从运算放大器 A3 的 VLP 输出中减去，因此：

$$ \mathrm { i } _ { 1 } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } - ( + \mathrm { V } ) } { \mathrm { R } _ { 1 } } + \frac { ( + \mathrm { V } ) - \mathrm { V } _ { \mathrm { BP } } } { \mathrm { R } _ { 2 } } = 0 $$

所以，

$$ \begin{array} { l } { \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } \mathrm { R } _ { 2 } = + \mathrm { V } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) - \mathrm { V } _ { \mathrm { BP } } \mathrm { R } _ { 1 } } \ { \therefore \quad + \mathrm { V } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } \mathrm { R } _ { 2 } + \mathrm { V } _ { \mathrm { BP } } \mathrm { R } _ { 1 } } { \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } } \end{array} $$

和

$$ \mathrm { i } _ { 2 } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { HP } } - ( - \mathrm { V } ) } { \mathrm { R } _ { 3 } } + \frac { ( - \mathrm { V } ) - \mathrm { V } _ { \mathrm { LP } } } { \mathrm { R } _ { 4 } } = 0 $$

所以，

$$ \begin{array} { l } { \mathrm { V } _ { \mathrm { HP } } \mathrm { R } _ { 4 } = - \mathrm { V } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) - \mathrm { V } _ { \mathrm { LP } } \mathrm { R } _ { 3 } } \ { \therefore \quad - \mathrm { V } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { LP } } \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { V } _ { \mathrm { HP } } \mathrm { R } _ { 4 } } { \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) } } \end{array} $$

作为差分输入，运算放大器的 +V 和 -V 是相同的，即： +V - -V，我们可以重新排列上面的两个表达式，找到 A1 输出的传递函数，即高通输出。 $$ \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } \mathrm { R } _ { 2 } + \mathrm { V } _ { \mathrm { BP } } \mathrm { R } _ { 1 } } { \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { LP } } \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { V } _ { \mathrm { HP } } \mathrm { R } _ { 4 } } { \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) } $$

因此，

$$ \begin{array} { l } { \left( \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } \mathrm { R } _ { 2 } + \mathrm { V } _ { \mathrm { BP } } \mathrm { R } _ { 1 } \right) \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) = \left( \mathrm { V } _ { \mathrm { LP } } \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { V } _ { \mathrm { HP } } \mathrm { R } _ { 4 } \right) \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } \ { \mathrm { V } _ { \mathrm { IM } } \mathrm { R } _ { 2 } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) + \mathrm { V } _ { \mathrm { BP } } \mathrm { R } _ { 1 } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) = \mathrm { V } _ { \mathrm { LP } } \mathrm { R } _ { 3 } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) + \mathrm { V } _ { \mathrm { Hp } } \mathrm { R } _ { 4 } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } \end{array} $$

重新排列输出为，

$$ \mathrm { V } _ { \mathrm { HP } } = \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } \frac { \mathrm { R } _ { 2 } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) } { \mathrm { R } _ { 3 } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } + \mathrm { V } _ { \mathrm { BP } } \frac { \mathrm { R } _ { 1 } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) } { \mathrm { R } _ { 4 } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } - \mathrm { V } _ { \mathrm { LP } } \frac { \mathrm { R } _ { 3 } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } { \mathrm { R } _ { 4 } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } \\ \therefore \mathrm { V } _ { \mathrm { HP } } = \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } \frac { \mathrm { R } _ { 2 } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) } { \mathrm { R } _ { 3 } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } + \mathrm { V } _ { \mathrm { BP } } \frac { \mathrm { R } _ { 1 } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) } { \mathrm { R } _ { 4 } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } - \mathrm { V } _ { \mathrm { LP } } \frac { \mathrm { R } _ { 3 } } { \mathrm { R } _ { 4 } } $$

我们从上面知道，VBP 和 VLP 分别是两个积分器 A2 和 A3 的输出。通过将 A2 和 A3 的积分器方程代入上述方程，我们得到状态变量滤波器的传递函数为：

状态可变滤波器传递函数

$$ \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { ouT } } } { \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } } = \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { LP } } } { \mathrm { V } _ { \mathrm { II } } } = \frac { \frac { \mathrm { R } _ { 2 } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) } { \mathrm { R } _ { 3 } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } \times \left( \frac { 1 } { \mathrm { RC } } \right) } { \frac { \mathrm { R } _ { 3 } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) } { \mathrm { R } _ { 4 } \left( \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { R } _ { 2 } \right) } \times \frac { 1 } { 2 \pi f \mathrm { RC } } ) + \left( \frac { 1 } { 2 \pi f \mathrm { RC } } \right) ^ { 2 } } $$

我们之前说过状态可变滤波器产生三个滤波器响应，低通，高通和带通，并且带通响应是非常窄的高 Q 滤波器的响应，这在上面的状态变量滤波器传递函数中很明显，因为它类似于标准的二阶响应。

归一化的二阶传递函数

$$ \frac { \mathrm { V } _ { \mathrm { OUT } } } { \mathrm { V } _ { \mathrm { IN } } } = \frac { \mathrm { A } _ { 0 } \left( \frac { f } { f _ { \mathrm { o } } } \right) } { \left[ 1 + 2 \xi \frac { f } { f _ { \mathrm { o } } } + \left( \frac { f } { f _ { \mathrm { o } } } \right) ^ { 2 } \right] } $$

滤波器转折频率，ƒC

如果我们使积分器输入电阻器和反馈电容器相同，那么状态变量滤波器截止频率可以很容易地调整而不会影响其整体 Q 值。同样，可以在不改变截止频率的情况下改变 Q 的值。然后截止频率为：

状态可变滤波器截止频率

$$ 2 \pi f _ { C } = \sqrt { \frac { R _ { 3 } } { R _ { 4 } ( R C ) ^ { 2 } } } \quad \therefore f _ { C } = \sqrt { \frac { R _ { 3 } } { R _ { 4 } ( 2 \pi R C ) ^ { 2 } } } $$

如果我们使反馈电阻 R3 和 R4 的值相同，则状态变量滤波器的每个滤波器输出的截止频率变为：

$$ f _ { C ( H P ) } = f _ { C ( B P ) } = f _ { C ( L P ) } = \frac { 1 } { 2 \pi R C } $$

然后，简单地通过改变电阻器 R 或电容器 C 来完成状态变量截止频率的调谐。

状态变量滤波器的特征不仅在于它们各自的输出响应，还在于滤波器质量因子 Q。Q 涉及带通滤波器幅度响应曲线的“锐度”，Q 越高，输出响应越高或越尖锐，导致滤波器具有高选择性。

对于带通滤波器，Q 被定义为中心频率除以滤波器 -3dB 带宽，即 Q =ƒc/ BW。但是 Q 也可以从上述传递函数的分母中找到，因为它是阻尼因子（ ζ ） 的倒数。那么 Q 如下所示：

状态变量滤波器的 Q 因子

$$ Q = \frac { f _ { C } } { B W } = \frac { 1 } { 2 \zeta } = \frac { R _ { 1 } \left( R _ { 3 } + R _ { 4 } \right) } { R _ { 4 } \left( R _ { 1 } + R _ { 2 } \right) } \sqrt { \frac { R _ { 3 } } { R _ { 4 } } \times \frac { R C } { R C } } $$

再次，如果电阻器 R3 和 R4 是相等的并且积分分量 R 和 C 是相等的，那么最终平方根表达会降低到： √1 也就是 1，因为分子和分母相互抵消。

状态变量滤波器示例 No1

设计一种状态变量滤波器，其具有截止频率 ƒC 为 1kHz 和品质因数 Q 为 10。假设两个频率确定电阻和电容是相等的。确定滤波器 DC 增益并绘制得到的电路和波特图。

我们在上面说过，如果两个积分电路的电阻，R 和反馈电容 C 都是相同的值，即 R = R 和 C = C，则滤波器的截止或截止频率点简单给出如：

滤波器的截止频率

$$ f _ { C } = \frac { 1 } { 2 \pi R C } H z $$

我们可以选择电阻器或电容器的值来找到另一个的值。如果我们为电容器假设一个合适的 10nF 值，那么电阻器的值将是：

$$ R = \frac { 1 } { 2 \pi f _ { C } C } = \frac { 1 } { 2 \pi \times 1000 \times 10 n F } = 15.9 k \Omega $$ 给出 C = 10nF 和 R =15.9kΩ，或最接近的优选值 16kΩ 。

值 Q 被给定为 10。这与滤波器阻尼系数有关：

$$ Q = 10 = \frac { 1 } { 2 \zeta } \quad \therefore 2 \zeta = \frac { 1 } { 10 } = 0.1 $$ 在上面的状态变量传递函数中，2ζ 部分被电阻器组合代替，给出：

$$ 2 \zeta = \frac { 1 } { Q } = \frac { 1 } { 10 } = \frac { R _ { 1 } \left( R _ { 3 } + R _ { 4 } \right) } { R _ { 4 } \left( R _ { 1 } + R _ { 2 } \right) } \sqrt { \frac { R _ { 3 } } { R _ { 4 } } \times \frac { R C } { R C } } = 0.1 $$ 我们从上面知道 R =16kΩ 且 C = 10nF，但如果我们假设两个反馈电阻 R3 和 R4 相同并且等于 10kΩ，那么上面的等式减少到：

$$ 0.1 = \frac { R _ { 1 } \left( R _ { 3 } + R _ { 4 } \right) } { R _ { 4 } \left( R _ { 1 } + R _ { 2 } \right) } = \frac { R _ { 1 } ( 10 k \Omega + 10 k \Omega ) } { 10 k \Omega \left( R _ { 1 } + R _ { 2 } \right) } $$

假设输入电阻的值 R1 为 1kΩ，那么我们可以找到 R2 的值如下：

$$ \therefore \mathrm { R } _ { 2 } = \frac { \mathrm { R } _ { 1 } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { R } _ { 4 } \right) } { 0.1 \times \mathrm { R } _ { 4 } } - \mathrm { R } _ { 1 } \\ = \frac { 1 \mathrm { k } \Omega ( 10 \mathrm { k } \Omega + 10 \mathrm { k } \Omega ) } { 0.1 \times 10 \mathrm { k } \Omega } - \mathrm { IkS } = 19 \mathrm { k } \Omega $$

从上面的归一化传递函数，DC 通带增益定义为 Ao， 并且从等效状态变量滤波器传递函数，这相当于：

SVF 滤波器直流通带增益

$$ \begin{array} { l } { A _ { O } = \frac { R _ { 2 } \left( R _ { 3 } + R _ { 4 } \right) } { R _ { 3 } \left( R _ { 1 } + R _ { 2 } \right) } = \frac { 19 k \Omega ( 10 k \Omega + 10 k \Omega ) } { 10 k \Omega ( 1 k \Omega + 19 k \Omega ) } } \ { \therefore A _ { 0 } = 1.9 = 5.57 \mathrm { dB } } \end{array} $$

因此，滤波器的直流电压增益计算为 1.9，基本上等于 R2 / R3。另外，滤波器的最大增益 ƒC ：可以计算为 Ao ×Q，如下所示。

SVF 滤波器最大增益

$$ \begin{array} { c } { A _ { f _ { c } ) } = \frac { V _ { O \cup T } } { V _ { I N } } = \frac { A _ { O } } { 2 \zeta } = A _ { O } \times Q } \ { \therefore A _ { 0 } \times Q = 1.9 \times 10 = 19 = 25.6 \mathrm { d } B } \end{array} $$

状态可变滤波器电路

然后，状态可变滤波器电路的设计将是： R =16kΩ，C = 10nF，R1 =1kΩ，R2 =19kΩ，R3 = R4 =10kΩ，如图所示。

状态变量滤波器设计

现在我们可以在 1 到 1MHz 的频率范围内将状态可变滤波器电路的各个输出响应曲线绘制到波特图上，如图所示。

状态可变滤波器波特图

然后我们可以从上面的滤波器响应曲线看出，滤波器电路的 DC 增益为 5.57dB，相当于如上所计算的开环电压增益 Ao 为 1.9。响应还表明，由于 Q 的值，输出曲线在拐角频率处的最大电压增益达到峰值 25.6dB。作为 Q 还涉及带通滤波器中心频率，以它的带宽，滤波器的带宽将因此： ƒo / 10 = 100Hz。

我们已经在这个状态变量滤波器教程中看到，我们可以使用多反馈技术从同一个单独的激活中同时产生所有三个滤波器响应，低通，高通和带通，而不是产生一种频率响应的有源滤波器。

但是除了三个基本滤波器响应之外，我们还可以在上面的基本状态变量滤波器设计中添加一个额外的运算放大器电路，以产生类似于标准陷波滤波器的第四个输出响应。

陷波滤波器设计

陷波滤波器滤波基本上是一个带通滤波器的相反，因为它拒绝或停止频率的特定频带。然后陷波滤波器也称为“带阻滤波器”。为了从基本状态可变滤波器设计中获得陷波滤波器的响应，我们必须使用另一个运算放大器求和放大器 A4 将高通和低通输出响应相加，如图所示。

陷波滤波器电路

这里简单起见，我们假设这两个输入电阻 R5 和 R6 以及反馈电阻 R7 都具有相同的值 10kΩ，R3 和 R4 也相同。因此，这使陷波滤波器的增益为 1。

陷波滤波器和带通滤波器的输出响应与带通响应的中心频率相关，等于陷波滤波器的零响应点，并且在该示例中将是 1kHz。

此外，陷波的带宽由电路 Q 确定，与通带响应完全相同。因此，向下的峰值等于中心频率除以 -3dB 带宽，即陷波两侧 -3dB 点之间的频率差。注意，品质因数 Q 与凹口的实际深度无关。

这种基本的陷波滤波器（带阻）设计只有两个输入应用于其求和放大器，即低通输出，VLP 和高通输出 VHP。但是，我们还有两个可用于基本状态可变滤波器电路的信号，带通输出，VBP 和输入信号本身 VIN。

如果这两个信号中的一个也用作陷波滤波器求和放大器的输入以及低通和高通信号，则可以控制陷波的深度。

根据你想要如何控制陷波滤波器部分的输出，将取决于你将使用的两个可用信号中的哪一个。如果它被要求从在无阻尼固有频率的积极响应的否定响应输出缺口变化 ƒo 然后带通输出信号 VBP 将被使用。

同样，如果要求输出陷波仅在其向下的负深度变化，则将使用输入信号 VIN。如果通过可变电阻器将这两个附加信号中的任何一个连接到运算放大器求和放大器，则可以完全控制陷波的深度和方向。考虑下面修改的陷波滤波器电路。

可变陷波滤波器深度

状态变量滤波器摘要

状态变量滤波器电路是二阶有源 RC 滤波器设计使用多个反馈技术以产生三个不同的频率响应的输出，即：低通，高通和带通从相同的单个滤波器。状态变量滤波器优于其他基本滤波器设计的优点是可以独立调整三个主要滤波器参数 Gain，Q 和 ƒc。

我们在这里也看到滤波器也很容易调整，因为截止频率 ƒc 可以通过改变 R 或 C 来设置和调整，而不会影响滤波器的阻尼系数。但是，在较高的截止频率和较大的阻尼系数下，滤波器会变得不稳定，因此最好在低 Q 值，小于 10 和低截止频率下使用。

基本状态可变滤波器设计使用三个运算放大器部分来产生其输出，但我们也看到，增加了第四个运算放大器部分，将低通和高通部分相加，一个陷波（带阻）滤波器输出响应也可以在所需的中心频率下实现。