有源带通滤波器

带通滤波器或任何滤波器的主要特征是它能够在指定频带或被称为“通带”的频率范围内传递相对无衰减的频率。

对于低通滤波器，该通带从 0Hz 或 DC 开始，并继续向上到指定的截止频率点，距离最大通带增益 -3dB。同样，对于高通滤波器，通带从 -3dB 截止频率开始，并继续向无穷大或有源滤波器的最大开环增益。

然而，有源带通滤波器略有不同，因为它是一种用于电子系统的频率选择滤波器电路，用于分离一个特定频率的信号，或一系列位于特定“频带”频率范围内的信号。该频带或频率范围设置在标记为“下截止低频率”（ fL ）和“上截止频率”（ fH ）的两个截止频率之间，同时衰减这两个点之外的任何信号。

如图所示，通过将单个低通滤波器与单个高通滤波器级联在一起，可以轻松实现简单的有源带通滤波器。

低通滤波器（LPF）的截止频率高于高通滤波器（HPF）的截止频率，-3dB 点的频率差异将决定“低频滤波器”的“带宽”。带通滤波器，同时衰减这些点之外的任何信号。制作简单的有源带通滤波器的一种方法是将我们先前看到的基本无源高通和低通滤波器连接到放大运算放大器电路，如图所示。

有源带通滤波器电路

将低通和高通滤波器级联在一起产生低“Q 因子”型滤波器电路，其具有宽通带。滤波器的第一级将是高通级，使用电容器阻止来自源的任何 DC 偏置。该设计具有产生相对平坦的不对称通带频率响应的优点，其中一半表示低通响应，另一半表示高通响应，如图所示。

高截止频率（ ƒH ）以及低截止频率（ ƒL ）用同以前一样在标准的一阶低通和高通滤波器电路的方法来计算。显然，在两个截止点之间需要合理的分离，以防止低通和高通阶段之间的任何相互作用。放大器还提供两级之间的隔离，并定义电路的整体电压增益。

因此，滤波器的带宽是这两个高低 -3dB 点之间的差值。例如，假设我们有一个带通滤波器，其 -3dB 截止点设置为 200Hz 和 600Hz。然后滤波器的带宽将给出为：带宽（BW）= 600-200 = 400Hz。

有源带通滤波器的归一化频率响应和相移如下。

有源带通频率响应

虽然上述无源调谐滤波器电路将用作带通滤波器，但通带（带宽）可能非常宽，如果我们想要隔离一小段频率，这可能是一个问题。有源带通滤波器也可以使用反相运算放大器制成。

因此，通过重新排列滤波器内电阻器和电容器的位置，我们可以产生更好的滤波器电路，如下所示。用于有源带通滤波器，该下截止 -3dB 点由 ƒC1 表示，而上截止 -3dB 点由 ƒC2 表示。

反相带通滤波器电路

$$ \text { Voltage Gain } = - \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } , \quad f _ { C _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 \pi R _ { 1 } C _ { 1 } } , f c _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 \pi R _ { 2 } C _ { 2 } } $$

这种类型的带通滤波器设计为具有更窄的通带。滤波器的中心频率和带宽与 R1，R2，C1 和 C2 的值相关。滤波器的输出取自运算放大器的输出。

多反馈带通有源滤波器

我们可以通过重新排列元件来改善上述电路的带通响应，以产生无限增益多反馈（IGMF）带通滤波器。这种类型的有源带通设计产生一个基于负反馈有源滤波器的“调谐”电路，使其具有高“Q 因子”（高达 25）的幅度响应和在其中心频率两侧的急剧滚降。因为电路的频率响应类似于谐振电路，所以该中心频率被称为谐振频率（ ƒr ）。考虑下面的电路。

无限增益多反馈有源滤波器

该有源带通滤波器电路使用运算放大器的全增益，通过电阻器 R2 和电容器 C2 施加多个负反馈。然后我们可以定义 IGMF 滤波器的特征如下：

$$ f _ { \mathrm { r } } = \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { \mathrm { R } _ { 1 } \mathrm { R } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 2 } } } \quad \mathrm { Q } _ { \mathrm { BP } } = \frac { f _ { \mathrm { r } } } { \mathrm { BW } _ { ( 3 \mathrm { d } \mathrm { B } ) } } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \mathrm { R } _ { 2 } } { \mathrm { R } _ { 1 } } } $$

最大增益，$ \mathrm { A } \mathrm { v } = - \frac { \mathrm { R } _ { 2 } } { 2 \mathrm { R } _ { 1 } } = - 2 \mathrm { Q } ^ { 2 }$

我们可以看到电阻器 R1 和 R2 之间的关系决定了带通“Q 因子”和最大幅度出现的频率，电路的增益将等于 -2Q2。然后随着增益的增加，选择性也随之增加。换句话说，高增益 - 高选择性。

有源带通滤波器示例 No1

具有电压增益 Av 为 1 和 1kHz 的谐振频率 ƒr 的有源带通滤波器是有无限增益多反馈滤波器电路来搭建的。计算实现电路所需的元件值。

首先，我们可以使用电路的增益确定有源滤波器所需的两个电阻 R1 和 R2 的值，如下所示。

$$ \mathrm { Av } = 1 = - 2 \mathrm { Q } ^ { 2 } \quad \therefore \mathrm { Q } _ { \mathrm { BP } } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } = 0.7071 \\ Q = 0.7071 = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } } \quad \therefore \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } = \left( \frac { 0.7071 } { \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 2 } = 2 $$

然后我们可以看到 Q = 0.7071 的值给出了电阻器的关系，R2 是电阻器 R1 的两倍。然后我们可以选择任何合适的电阻阻值来给出所需的比率 2，比如电阻 R1 =10kΩ，R2 =20kΩ。

中心或谐振频率为 1kHz。使用获得的新电阻值，我们可以确定所需的电容值，假设 C = C1 = C2。

$$ \begin{array} { c } { f _ { \mathrm { r } } = 1,000 \mathrm { Hz } = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { C } \sqrt { \mathrm { R } _ { 1 } \mathrm { R } _ { 2 } } } } \ { \therefore \mathrm { C } = \frac { 1 } { 2 \pi f _ { \mathrm { r } } \sqrt { \mathrm { R } _ { 1 } \mathrm { R } _ { 2 } } } = \frac { 1 } { 2 \pi 1000 \sqrt { 10,000 \times 20,000 } } = 11.2 \mathrm { nF } } \end{array} $$

最接近的标准值是 10nF。

谐振频率点

任何无源或有源带通滤波器的频率响应曲线的实际形状将取决于滤波器电路的特性，上面的曲线被定义为“理想”带通响应。有源带通滤波器是二阶型滤波器，因为它的电路设计中有两个无功分量（两个电容）。

由于这两个无功分量，滤波器将在其“中心频率” ƒc 处具有峰值响应或谐振频率 ƒr。中心频率通常计算为上下截止点之间的两个 -3dB 频率的几何平均值，谐振频率（振荡点）如下：

$$ f_{r} = \sqrt { f _ { L } \times f _ { H } } $$

其中，

• ƒR 是谐振或中心频率
• ƒL 是 -3dB 的下截止频率
• ƒH 是 -3db 的上截止频率

在上面简单的例子中，滤波器的 -3dB 截止点分别位于 200Hz 和 600Hz，那么有源带通滤波器的谐振中心频率将为：

$$ f r = \sqrt { 200 \times 600 } = \sqrt { 120,000 } = 346 \textrm{ Hz} $$

Q-Factor 或品质因数

在带通滤波器电路中，滤波器的上下 -3dB 截止频率之间的实际通带的总宽度决定了电路的品质因数 - Quality Factor。Q 因子衡量带通滤波器对于给定的频率扩展的“选择性”或“非选择性”。Q 因子的值越低，滤波器的带宽越宽，因此 Q 因子越高，滤波器越窄，“选择性”越强。

滤波器的Q 因子 有时用希腊符号 α 代表，并且被称为 α 峰值频率，其中：

$$ \alpha = \frac { 1 } { Q } $$

由于有源带通滤波器（二阶系统）的品质因数与滤波器响应在其中心谐振频率（ ƒr ） 附近的“锐度”有关，因此它也可以被认为是“阻尼系数”。因为滤波器的阻尼越大，其响应越平坦，同样，滤波器的阻尼越小，其响应越敏锐。阻尼比用希腊符号 ξ 表示。其中，

$$ \xi = \frac { \alpha } { 2 } $$

带通滤波器的 Q 是上下 -3dB 频率之间的谐振频率 （ ƒr ）与带宽 （ BW ） 之比，如下所示：

$$ Q = \frac { \text { Resonant Frequency } } { \text { Bandwidth } } $$

然后，对于上面的简单示例，带通滤波器的品质因数“ Q ”如下所示：

346Hz / 400Hz = 0.865。请注意，Q 是比率，没有单位。

在分析有源滤波器时，通常考虑归一化电路，其产生具有矩形形状的“理想”频率响应，以及通带和具有非常陡峭的滚降斜率的阻带之间的过渡。然而，这些理想的响应在现实世界中是不可能的，因此我们使用近似值来为我们设计的滤波器类型提供最佳频率响应。

可能最着名的近似滤波器是 Butterworth 或最大平坦响应滤波器。在下一个教程中，我们将研究更高阶的滤波器，并使用巴特沃斯近似来产生滤波器，在通带中其频率响应与数学理论上一样平坦，并具有平滑的过渡或滚降速率。