正弦波形

当电流流过导线或导体时，在导线周围产生圆形磁场，其强度与电流值有关。

如果该单线导体在静止磁场内移动或旋转，则由于导体通过磁通量的移动而在导体内感应出 EMF （电动势）。

由此我们可以看出，电力和磁力之间存在着一种关系，正如迈克尔·法拉第发现“电磁感应”的影响一样，电机和发电机用来为我们的主电源产生正弦波形是这个基本原理。

在电磁感应教程中，我们说当单线导体穿过永久磁场从而切断其磁通线时，会在其中感应出 EMF。

但是，如果导体在点 A 和 B 的情况下与磁场平行移动，则没有切割磁通线并且没有 EMF 被感应到导体中，但是如果导体与磁场成直角移动，如在在点 C 和 D 的情况下，切割最大磁通量，产生最大量的感应 EMF。

另外，作为导体切割磁场的点之间的不同角度甲和 C ，0 和 90o 感应 EMF 的量将某处该零和最大值之间。然后，导体内感应的电动势的量取决于导体与磁通量之间的角度以及磁场的强度。

交流发电机利用法拉第的电磁感应原理将机械能（如旋转）转换为电能，即正弦波形。简单的发电机由一对永久磁铁组成，在北极和南极之间产生固定的磁场。在该磁场内部是单个矩形线圈，其可以围绕固定轴旋转，允许其以各种角度切割磁通量，如下所示。

基本单线圈交流发电机

当线圈围绕垂直于磁场的中心轴逆时针旋转时，线环在环路旋转时以不同的角度切割在北极和南极之间建立的磁力线。在任何时刻，环路中感应的 EMF 的量与线环的旋转角度成比例。

当该线圈旋转时，线中的电子围绕环在一个方向上流动。现在，当线圈旋转超过 180° 点并沿相反方向的磁力线移动时，线圈中的电子改变并沿相反方向流动。然后电子运动的方向决定了感应电压的极性。

因此我们可以看到，当环路或线圈物理旋转一整圈或 360° 时，产生一个完整的正弦波形，波形的每一圈产生一个波形周期。当线圈在磁场内旋转时，通过碳刷和滑环对线圈进行电连接，碳刷和滑环用于传递线圈中感应的电流。

引入切割磁力线的线圈中的 EMF 量由以下三个因素确定。

• 速度 - 线圈在磁场内旋转的速度。
• 强度 - 磁场的强度。
• 长度 - 通过磁场的线圈或导体的长度。

我们知道电源的频率是一个周期在一秒钟内出现的次数，并且该频率以赫兹为单位测量。如上所示，通过包括北极和南极的磁场，线圈的每次完整旋转产生一个感应电动势循环，如果线圈以恒定速度旋转，则每秒产生恒定数量的循环，给出恒定的频率。因此，通过增加线圈的旋转速度，频率也将增加。因此，频率与旋转速度成比例，（ ƒ ∝ N）其中 N = rpm。

此外，我们上面的简单单线圈发电机只有两个极，一个是北极，另一个是南极，这是一对极。如果我们在发电机上面添加更多的磁极，使其现在总共有四个极，两个北极和两个南极，那么对于线圈的每次旋转，将产生两个相同转速的循环。因此，频率与发电机的磁极对数成比例（ ƒ ∝ P），其中 P = 极对数。

然后根据这两个事实，我们可以说 AC 发电机的频率输出是：

$$ f = \frac {NP}{60} \mathrm{Hz} $$

其中： Ν 是 rpm 转速， P 是极对数，60 将结果转换为 1/秒。

瞬时电压

在任何时刻在线圈中感应的 EMF 取决于线圈切割磁极之间的磁通线的速率或速度，这取决于发电装置的旋转角度 θ。由于 AC 波形不断改变其值或幅度，因此任何时刻的波形将具有与其下一个时刻不同的值。

例如，1ms 处的值将与 1.2ms 处的值不同，依此类推。这些值通常称为瞬时值，或 Vi。 然后，波形的瞬时值及其方向将根据线圈在磁场内的位置而变化，如下所示。

磁场内线圈的位移

正弦波形的瞬时值由瞬时值=最大值 x sinθ 给出，

$$ V _ { i } = V _ { \max } \times \sin \theta $$

其中，Vmax 是线圈中感应的最大电压， θ=ωt，是线圈相对于时间的旋转角度。

如果我们知道波形的最大值或峰值，通过使用上面的公式，可以计算沿波形的各个点的瞬时值。通过将这些值绘制到方格纸上，可以构造正弦波形。

为了简单起见，我们将在每 45o 绘制正弦波形的瞬时值，这样每个周期内我们有 8 个点来绘制。同样，为了保持简单，我们将假设最大电压，VMAX 值为 100V。以较短的间隔绘制瞬时值，例如每 30o （12 个 点）或 10o （36 个点），将导致更准确的正弦波形构造。

正弦波形构造

正弦波形的点由 0o到 360o 之间不同旋转位置向代表角度 θ 的坐标轴来投影得到的，当线环或线圈旋转一个整圈，或到达 360o 后，产生一个完整的波形。

从正弦波形图可以看出，当 θ 等于 0°、180° 或 360° 时，生成的 EMF 为零，因为线圈切割最小量的磁通量。但是，当 θ 等于 90o 和 270o 时，所产生的 EMF 是处于其最大值，因为最大的磁通量被切割。

因此正弦波形在 90o 具有正峰值，并在 270o 时有负峰值。位置 B，D，F 和 H 产生对应于下式的 EMF 值： e =Vmax * sinθ。

然后，由我们的简单单线圈发电机产生的波形形状通常被称为正弦波，因为它的形状是正弦波。这种类型的波形称为正弦波，因为它基于数学中使用的三角正弦函数，（ x(t)=Amax * sinθ）。

当处理时域中的正弦波，尤其是当前相关的正弦波时，沿波形的水平轴使用的测量单位可以是时间，度或弧度。在电气工程中，更常见的是使用弧度作为沿水平轴而不是角度的角度测量。例如， ω = 100rad/s，或 500rad/s。

弧度

弧度（RAD）在数学上被定义为一个圆的一部分，其中它的弧长等于同一个圆的半径。由于圆的周长等于 2π x 半径，360o 的圆的必须有 2π 个弧度。

换句话说，弧度是角度测量的单位，并且一个弧度的长度（r）的6.284（2 *π）倍将围绕圆一周。因此，一个弧度等于 360o /2π= 57.3o 。在电气工程中，弧度的使用非常普遍，因此记住以下公式非常重要。

Radian 的定义

$$ \begin{array} { c } { 2 \pi \mathrm { rads } = 360 ^ { \circ } } \ { \therefore 1 \mathrm { rad } = 57.3 ^ { \circ } } \end{array} $$

使用弧度作为正弦波形的测量单位将为 360o 的 一个完整周期提供 2π 个弧度。然后，半个正弦波形必须等于 1π 弧度。然后我们知道 π 等于 3.142，因此正弦波形的度和弧度之间的关系如下，

度和弧度之间的关系

$$ \begin{array} { l } { \text { Radians } = \left( \frac { \pi } { 180 ^ { \circ } } \right) \times \text { degrees } } \\ { \text { Degrees } = \left( \frac { 180 ^ { \circ } } { \pi } \right) \times \text { radians } } \end{array} $$

将这两个方程应用于沿波形的各个点，我们将得到，

$$ 30 ^ { \circ } \rightarrow \text { Radians } = \frac { \pi } { 180 ^ { \circ } } \left( 30 ^ { \circ } \right) = \frac { \pi } { 6 } \mathrm { rad } $$

$$ 90 ^ { \circ } \rightarrow \text { Radians } = \frac { \pi } { 180 ^ { \circ } } \left( 90 ^ { \circ } \right) = \frac { \pi } { 2 } \mathrm { rad } $$

$$ \frac { 5 \pi } { 4 } \mathrm { rad } \rightarrow \text { Degrees } = \frac { 180 ^ { \circ } } { \pi } \left( \frac { 5 \pi } { 4 } \right) = 225 ^ { \circ } $$

$$ \frac { 3 \pi } { 2 } \mathrm { rad } \rightarrow \text { Degrees } = \frac { 180 ^ { \circ } } { \pi } \left( \frac { 3 \pi } { 2 } \right) = 270 ^ { \circ } $$

对于正弦分析中使用的更常见的等效关系，度和弧度之间的转换在下表中给出。

度和弧度之间的关系

发电机围绕其中心轴旋转的速度决定了正弦波形的频率。由于波形的频率 ƒ 单位为 Hz 或周期每秒，波形还具有角频率 ω ，以弧度/秒为单位。然后给出正弦波形的角速度，

正弦波形的角速度

$$ \omega = 2 \pi f ( \text { rad } / \text { sec } ) $$

在国内，主电源的角速度或频率如下： $$ \omega = 2 \pi f = 2 \pi .50 = 314.2 \mathrm { rad } / \mathrm { s } $$

在美国，由于其主电源频率为 60Hz，因此我们可以得到 - 377 rad/s

因此，我们现在知道，在其中发电机绕其中心轴旋转速度决定了正弦波形的频率和其也可以称为其角速度 ω。但是我们现在也应该知道完成一整圈所需的时间等于正弦波形的周期时间（ T）。

频率成反比于周期， ƒ= 1 / T， 因此，我们我们可以通过周期来计算出角频率，

$$ \omega = \frac { 2 \pi } { \mathrm { T } } ( \mathrm { rad } / \mathrm { sec } ) $$

上述等式表明，正弦波的周期时间越小，波形的角速度就越大。同样在上面对于频率量的等式中，频率越高，角速度越高。

正弦波形示例 No1

有一正弦波形 Vm = 169.8 sin(377t) V。计算波形的 RMS 电压，其频率，及在 6 毫秒（6ms）的时间上电压的瞬时值（Vi）。

我们从上面知道，正弦波形的一般表达式是： $$ \mathrm { V } _ { ( \mathrm { t } ) } = \mathrm { V } _ { \mathrm { m } } \sin ( \mathrm { \omega t } ) $$

然后将其与我们给定的高于 Vm = 169.8 sin(377t) 的正弦波形的表达式进行比较，将得到波形的峰值电压值 169.8 伏。

波形 RMS 电压计算如下：

$$ { \mathrm { V } _ { ( \mathrm { ms } ) } = 0.707 \times \mathrm { maximum } \text { peak value } } \\ { \mathrm { V } _ { ( \mathrm { ms } ) } = 0.707 \times 169.8 = 120 \mathrm { volts } } $$

角速度（ ω）为 377 rad/s。然后 2πƒ= 377。因此波形的频率计算如下：

$$ \text { Frequency } ( f ) = \frac { 377 } { 2 \pi } = 60 \mathrm { Hz } $$

6ms 时间后的瞬时电压 Vi 值如下：

$$ \mathrm { V } _ { ( \mathrm { i } ) } = \mathrm { V } _ { \mathrm { m } } \sin \left( \omega \mathrm { t } \right) \\ { \mathrm { V } _ { ( \mathrm { i } ) } = 169.8 \sin ( 377 \times 0.006 ) } \\ \mathrm { V } _ { ( \mathrm { i } ) } = 169.8 \sin ( 2.262 \mathrm { rads } ) \\ 2.262 \mathrm { rads } \times 57.3 ^ { \circ } = 129.6 ^ { \circ } \\ V _ { ( 1 ) } = 169.8 \sin \left( 129.6 ^ { \circ } \right) = 169.8 \times 0.771 \\ \therefore V _ { ( 1 ) } = 130.8 \text { volts peak } $$

注意，时间 t = 6ms 处的角速度以弧度（ rads）给出。如果愿意，我们可以将其转换为等效角度，并使用该值代替计算瞬时电压值。因此，瞬时电压值的角度为：

$$ \begin{array} { c } { \text { Degrees } = \left( \frac { 180 ^ { \circ } } { \pi } \right) \times \text { radians } } \\ { \therefore \frac { 180 ^ { \circ } } { \pi } \times 2.262 = 57.3 ^ { \circ } \times 2.262 = 129.6 ^ { \circ } } \end{array} $$

正弦波形

然后，用于分析和计算正弦波形的各种值的通用格式如下：

正弦波形

在下一节关于相位差的教程中，我们将研究两个具有相同频率但在不同时间间隔通过水平零轴的正弦波形之间的关系。