傅里叶级数和变换

傅里叶变换将时间（信号）的函数分解成构成它的频率，类似于音乐和弦如何表示为其构成音符的幅度（或响度）。时间函数的傅立叶变换本身是频率的复值函数，其绝对值表示原始函数中存在的频率的量，并且其复数参数是该频率中的基本正弦曲线的相位偏移。

傅立叶变换称为原始信号的频域表示。术语傅里叶变换指的是频域表示和将频域表示与时间函数相关联的数学运算。傅里叶变换不限于时间函数，但是为了具有统一语言，原始函数的域通常被称为时域。对于许多实际感兴趣的函数，可以定义一个反转它的操作：频域表示的逆傅里叶变换，也称为傅立叶合成，组合所有不同频率的贡献以恢复原始时间函数。

在一个域（时间或频率）中执行的线性操作在另一个域中具有相应的操作，这有时更容易执行。时域中的微分运算对应于频率的乘法，因此一些微分方程在频域中更容易分析。此外，时域中的卷积对应于频域中的普通乘法。具体地说，这意味着任何线性时不变系统，例如应用于信号的电子滤波器，可以相对简单地表示为频率上的操作。因此，通常通过将时间函数转换到频域，执行期望的操作以及将结果转换回时间来实现显着的简化。

谐波分析是频率和时域之间关系的系统研究，包括在一个或另一个中更简单的功能或操作类型，并且与现代数学的几乎所有领域有着深刻的联系。

在时域中定位的函数具有遍及频域的傅里叶变换，反之亦然。关键的情况是高斯函数，在概率论和统计学中以及在表现出正态分布（例如，扩散）的物理现象的研究中具有重要意义，其在傅里叶变换下具有适当的归一化。Joseph Fourier 在他的传热研究中介绍了这种变换，其中高斯函数作为热传导方程的解。

傅里叶变换可以被正式定义为不适当的黎曼积分，使其成为一个整数变换，尽管这个定义不适合需要更复杂的积分理论的许多应用。

例如，许多相对简单的应用程序使用 Dirac delta 函数，它可以正式处理，就像它是一个函数一样，但是理由需要数学上更复杂的观点。傅里叶变换也可以推广到欧几里德空间上的几个变量的函数，将三维空间的函数发送到三维动量的函数（或者空间和时间的函数到 4 动量的函数）。

这种想法使得空间傅里叶变换在波的研究以及量子力学中非常自然，其中重要的是能够将波解表示为空间或动量的函数，有时两者都是。通常，傅里叶方法适用的函数是复值的，并且可能是矢量值的。对群上函数的进一步推广是可能的，除了在ℝ或 originaln 上的原始傅里叶变换（在加法下看作为群）之外，还特别包括离散时间傅里叶变换（DTFT，group =ℤ），离散傅里叶变换（ DFT，group =ℤmodN）和傅立叶级数或圆形傅里叶变换（组= S1，单位圆≈封闭的有限区间，其中识别出端点）。后者通常用于处理周期性功能。