类别的定义

类别 C 包括：

• 一组名为 Obj(C) 的对象;
• 这些对象之间的态射集合（称为 Hom(C)）。如果 a 和 b 在 Obj(C) 中，那么 Hom(C) 中的态射 f 通常表示为 f : a -> b，而 a 和 b 之间的所有态射的集合表示为 hom(a,b);
• 一种称为身份态射的特殊态射 - 对于每一个传统都存在一个态射的天蝎 14;
• 一个合成运算符（.），取两个态射 f : a -> b，g : b -> c 并产生态射 a -> c

遵守以下准则：

For all f : a -> x, g : x -> b, then id . f = f and g . id = g

For all f : a -> b, g : b -> c and h : c -> d, then h . (g . f) = (h . g) . f

换句话说，具有身份态射（左侧或右侧）的构图不会改变其他态射，并且构图是关联的。

在 Haskell 中，Category 被定义为 Control.Category 中的类型类 ：

-- | A class for categories.
--   id and (.) must form a monoid.
class Category cat where
    -- | the identity morphism
    id::cat a a

    -- | morphism composition
    (.) :: cat b c -> cat a b -> cat a c

在这种情况下，cat::k -> k -> *客观化了态射关系 - 当且仅当 cat a b 有人居住时（即有一个值），存在一个态射 cat a b。a，b 和 c 都在 Obj(C)。Obj(C) 本身是由表示种类，例如，当 k ~ *，如通常的情况下，对象是类型 - k。

Haskell 中类别的规范示例是函数类别：

instance Category (->) where
  id = Prelude.id
  (.) = Prelude..

另一个常见的例子是 Monad 的 Kleisli 箭头：

newtype Kleisli m a b = Kleisli (a -> m b)

class Monad m => Category (Kleisli m) where
  id = Kleisli return
  Kleisli f . Kleisli g = Kleisli (f >=> g)