巴特沃斯濾波器設計
在之前的濾波器教程中，我們研究了簡單的一階型低通和高通濾波器，它們的 RC 濾波器電路設計中只包含一個電阻器和一個無功元件（電容器）。
在使用濾波器對訊號的頻譜進行整形的應用中，例如在通訊或控制系統中，滾降的形狀或寬度也稱為“過渡帶”，對於簡單的一階濾波器可能太長，所以有源的濾波器需要具有多階濾波器。這些型別的濾波器通常被稱為“高階”或“n階”濾波器。
濾波器複雜度或濾波器型別由濾波器階數決定，並且取決於其設計中的電抗器或電感器等無功元件的數量。我們還知道，滾降速率和過渡頻帶的寬度取決於濾波器的階數和簡單的一階濾波器的標準滾降速率為 20dB / decade 或 6dB/octave。
然後，對於具有 n 階濾波的濾波器，它相應的將具有 20n dB/decade 或 6n dB/Octave 的滾降率。因此，一階濾波器的滾降速率為 20dB / decade（6dB/octave），二階濾波器的滾降速率為 40dB / decade（12dB/octave），四階濾波器的滾降率為 80dB / decade（24dB / octave）等。
通常通過將單個一階濾波器和二階濾波器級聯在一起來形成諸如三階，四階和五階的高階濾波器。
例如，兩個二階低通濾波器可以級聯在一起以產生四階低通濾波器，依此類推。儘管可以形成的濾波器的順序沒有限制，但隨著順序的增加，其尺寸和成本也增加，其精度也會下降。
Decade 和 Octave
關於Decade 和 Octave 的最後評論。在頻率範圍內，Decase 是十倍增長（乘以 10）或十倍減少（除以 10）。例如，2 至 20Hz 一個 decade，而 50 至 5000Hz 代表 2 個 decade（50 至 500Hz，然後 500 至 5000Hz）。
一個 Octave 是在頻率標度的加倍（乘以 2）或減半（除以 2）。例如，10 到 20Hz 表示一個 octave，而 2 到 16Hz 是三個 octave（2 到 4,4 到 8，最後是 8 到 16Hz），每次加倍頻率。無論哪種方式，在使用放大器和濾波器時，對數在頻域中廣泛用於表示頻率值，因此理解它們非常重要。
對數頻率標度
由於頻率確定電阻器均相等，且可如頻率確定電容，截止或轉角頻率（ ƒC 為）或者第一，第二，第三或甚至第四階濾波器也必須相等，並且可以使用我們現在已經熟悉的等式：
$$ f _ { C } = \frac { 1 } { 2 \pi R C } H z $$
與第一和第二階濾波器一樣，通過簡單地交換等效低通濾波器中的頻率確定元件（電阻器和電容器）的位置來形成第三和第四階高通濾波器。可以按照我們之前在低通濾波器和高通濾波器教程中看到的步驟設計高階濾波器。然而，高階濾波器的總增益是固定的，因為所有頻率確定分量都相等。
濾波近似值
到目前為止，我們已經研究了低通和高通一階濾波器電路，它們產生的頻率和相位響應。一個理想的濾波器將為我們提供最大通帶增益和平坦度，最小阻帶衰減以及阻止頻帶滾降（轉換頻帶）的非常陡峭的通帶，因此顯然會有大量的網路響應滿足這些要求。
毫不奇怪，線性模擬濾波器設計中有許多“近似函式”，它們使用數學方法來最好地逼近濾波器設計所需的傳遞函式。
這種設計被稱為 Elliptical，Butterworth，Chebyshev，Bessel，Cauer 以及許多其他設計。在這五個“經典”線性模擬濾波器近似函式中，只有巴特沃斯濾波器，特別是低通巴特沃斯濾波器設計在這裡被認為是最常用的功能。
低通巴特沃斯濾波器設計
巴特沃斯濾波器近似函式的頻率響應通常也被稱為“最大平坦”（無波紋）響應，因為通帶被設計為具有頻率響應，該頻率響應在數學上可能從 0Hz(DC) 直到截止頻率-3dB 處無波紋。超過截止點的較高頻率在阻帶中以 20dB / decade 或 6dB/octave 下降至零。這是因為的“品質因數” Q 僅為 0.707。
然而，巴特沃斯濾波器的一個主要缺點是，當濾波器從通帶變為阻帶時，它以寬的過渡帶為代價實現了該通帶平坦度。它也具有差的相位特性。對於不同的濾波器階數，理想的頻率響應和標準巴特沃斯近似值如下所示。
巴特沃斯濾波器的理想頻率響應
請注意，巴特沃斯濾波器階數越高，濾波器設計中的級聯級數越高，濾波器越接近理想的“磚牆”響應。
然而，在實踐中，巴特沃斯的理想頻率響應是無法實現的，因為它會產生過多的通帶紋波。
在表示 N 階 Butterworth 濾波器的廣義等式中，頻率響應如下：
$$ \left| H _ { ( j \omega ) } \right| = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 2 } \left( \frac { \omega } { \omega _ { p } } \right) ^ { 2 n } } } $$
其中： N 表示濾波器階數，ω 等於 2πƒ 和 ε 是最大通帶增益 Amax。如果 Amax 被定義為截止頻率 -3dB ƒc 的頻率，ε 將會等於一個，因此 ε2 也將會是 1。但是，如果你現在希望定義 Amax 在不同的電壓增益值，例如 1 dB 或 1.1220（1dB = 20 * logAmax ）之後，ε 的新值 可通過以下方式計算，
$$ H _ { 1 } = \frac { H _ { 0 } } { \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 2 } } } $$
其中，
- H0 是通帶最大增益 Amax
- H1 是通帶最小增益
轉換等式給出：
$$ \frac { H _ { 0 } } { H _ { 1 } } = 1.1220 = \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 2 } } $$
然後會得出
$$ \varepsilon = 0.5088 $$
濾波器的頻率響應可以通過其傳遞函式在數學上定義，標準電壓傳遞函式 H(jω) 寫為：
$$ H ( j \omega ) = \left[ \frac { V o u t ( j \omega ) } { V i n ( j \omega ) } \right] $$
其中，
- Vout = 輸出訊號電壓。
- Vin = 輸入訊號電壓。
- j = -1的平方根（√-1）
- ω = 弧度頻率（2πƒ）
注意： (jω) 也可以寫成 (s) 來表示 s 域。二階低通濾波器的合成傳遞函式如下：
$$ H ( s ) = \frac { V o u t } { V i n } = \frac { 1 } { S ^ { 2 } + S + 1 } $$
歸一化低通巴特沃斯濾波器多項式
為了幫助來設計低通濾波器，Butterworth 生成了歸一化二階低通多項式的標準表，給出了係數值，該值對應於 1 弧度/秒的截止轉角頻率。
| N | 因子形式的歸一化分母多項式 |
|---|---|
| 1 | (1 + s) |
| 2 | (1 + 1.414s + s2 ) |
| 3 | (1 + s)(1 + s + s2 ) |
| 4 | (1 + 0.765s + s2 )(1 + 1.848s + s2 ) |
| 五 | (1 + s)(1 + 0.618s + s2 )(1 + 1.618s + s2 ) |
| 6 | (1 + 0.518s + s2 )(1 + 1.414s + s2 )(1 + 1.932s + s2 ) |
| 7 | (1 + s)(1 + 0.445s + s2 )(1 + 1.247s + s2 )(1 + 1.802s + s2 ) |
| 8 | (1 + 0.390s + s2 )(1 + 1.111s + s2 )(1 + 1.663s + s2 )(1 + 1.962s + s2 ) |
| 9 | (1 + s)(1 + 0.347s + s2 )(1 + s + s2 )(1 + 1.532s + s2 )(1 + 1.879s + s2 ) |
| 10 | (1 + 0.313s + s2 )(1 + 0.908s + s2 )(1 + 1.414s + s2 )(1 + 1.782s + s2 )(1 + 1.975s + s2 ) |
濾波器設計 - 低通巴特沃斯濾波器
求出有源低通巴特沃茲濾波器的階數，其規格如下：在通帶頻率 ωp 200 rad/s (31.8 Hz) 的 Amax = 0.5dB，阻帶頻率 ωs 800 rad/s 下 Amin = -20dB。設計合適的巴特沃斯濾波器電路以滿足這些要求。
首先，最大通帶增益 Amax = 0.5dB，等於增益 1.0593，記住：0.5dB = 20 * log(A)，頻率（ ωp ）為 200 rad/s，所以 ε 為：
$$ \begin{array} { l } { 1.0593 = \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 2 } } } \\ { \therefore \varepsilon = 0.3495 \quad } \\ \varepsilon ^ { 2 } = 0.1221 \end{array} $$
其次，最小阻帶增益 Amin = -20dB，其等於在 800 rads / s 或 127.3Hz 的阻帶頻率（ ωs ）下的增益 10 （-20dB = 20 * log(A)）。
將這些值代入 Butterworth 濾波器頻率響應的一般方程式，可以得到以下結果： $$ H ( j \omega ) = \frac { H _ { 0 } } { \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { S } } { \omega _ { p } } \right) ^ { 2 n } } } \\ \frac { 1 } { 10 } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + 0.1221 \left( \frac { 800 } { 200 } \right) ^ { 2 n } } } \\ ( 10 ) ^ { 2 } = 1 + 0.1221 \times 4 ^ { 2 n } \\ \therefore 100 - 1 = 0.1221 \times 4 ^ { 2 n } \\ 4 ^ { 2 n } = \frac { 99 } { 0.1221 } = 810.811 \\ 4 ^ { n } = \sqrt { 810.811 } = 28.475 \\ \therefore n = \frac { \log 28.475 } { \log 4 } = 2.42 $$
由於 n 必須始終為整數（整數），因此 2.42 下一個整數值為 n = 3，因此需要三階濾波器並生成三階巴特沃斯濾波器，二階濾波器階段需要與一階濾波器級聯級聯。
從上面的歸一化低通巴特沃斯多項式表中，三階濾波器的係數為 (1 + s)(1 + s + s2 )，這給出了 3-A = 1 的增益，或 A = 2。當 A = 1 +(Rf / R1)時，為反饋電阻器 Rf 和電阻器 R1 選擇分別為 1kΩ 和 1kΩ 的值 - (1kΩ/1kΩ) + 1 = 2。
我們知道，截止拐角頻率 ωo 可以使用公式 1/CR 來計算 ，但我們需要從通帶頻率 ωp 找到 ωo。
$$ \begin{array} { c } { | H ( j \omega ) | = \frac { H _ { 0 } } { \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { 0 } } { \omega _ { p } } \right) ^ { 2 n } } } } \\ { 3 d B = 1.414 \text { at } \omega = \omega _ { 0 } } \\ \frac { 1 } { 1.414 } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \varepsilon ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { 0 } } { \omega _ { p } } \right) ^ { 2 n } } } \\ 2 = 1 + \varepsilon ^ { 2 } \left( \frac { \omega _ { 0 } } { \omega _ { P } } \right) ^ { 2 n } \\ \therefore 1 = \varepsilon \left( \frac { \omega _ { 0 } } { \omega _ { P } } \right) ^ { n } \\ \omega _ { 0 } ^ { n } = \frac { \omega _ { P } ^ { n } } { \varepsilon } \\ \omega _ { 0 } ^ { 3 } = \frac { 200 ^ { 3 } } { 0.3495 } \\ \omega _ { 0 } ^ { 3 } = 22.889 \times 10 ^ { 6 } \\ \therefore \omega _ { O } = 283.93 = 284 \text { rads } / s \end{array} $$
因此，截止頻率為 284 rads / s 或 45.2Hz（284 /2π），使用熟悉的公式 1 / CR，我們可以找到三階電路的電阻和電容值。
$$ \begin{array} { l } { 284 r a d s / s = \frac { 1 } { C R } \text { use a value of } R = 10 k \Omega } \ { \therefore \text { Capacitor } C = \frac { 1 } { 284 \times 10,000 } = 0.352 u F } \end{array} $$
注意，最接近 0.352uF 的優選值是 0.36uF，或 360nF。
三階巴特沃斯低通濾波器
最後我們的三階低通巴特沃斯濾波器電路的截止頻率為 284 rads / s 或 45.2Hz，最大通帶增益為 0.5dB，最小阻帶增益為 20dB。
因此對於我們的三階巴特沃斯低通濾波器，轉角頻率為 45.2Hz，C = 360nF，R =10kΩ