傅立葉系列

Joseph Fourier 表明，任何週期波都可以用簡單的正弦波來表示。這個總和稱為傅立葉級數。傅立葉級數僅在系統為線性時保持不變。如果存在例如一些溢位效應（無論輸入多少輸出，輸出保持相同的閾值），非線性效應進入影象，打破正弦波和疊加原理。

# Sine waves
xs <- seq(-2*pi,2*pi,pi/100)
wave.1 <- sin(3*xs)
wave.2 <- sin(10*xs)
par(mfrow = c(1, 2))
plot(xs,wave.1,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)
plot(xs,wave.2,type="l",ylim=c(-1,1)); abline(h=0,lty=3)

# Complex Wave
wave.3 <- 0.5 * wave.1 + 0.25 * wave.2
plot(xs,wave.3,type="l"); title("Eg complex wave"); abline(h=0,lty=3)

http://i.stack.imgur.com/3RhtI.jpg

wave.4 <- wave.3
wave.4[wave.3>0.5] <- 0.5
plot(xs,wave.4,type="l",ylim=c(-1.25,1.25))
title("overflowed, non-linear complex wave")
abline(h=0,lty=3)

http://i.stack.imgur.com/5lljo.jpg

此外，傅立葉級數僅在波是週期性的情況下成立，即它們具有重複模式（非週期性波由傅立葉變換處理，見下文）。週期波具有頻率 f 和波長λ（波長是在週期的開始和結束之間的介質中的距離，λ= v / f0，其中 v 是波速），其由重複圖案限定。非週期波不具有頻率或波長。

一些概念：

• 基本週期 T 是所有采樣的週期，即第一個樣本和最後一個樣本之間的時間
• 取樣率 sr 是在一段時間內（也就是採集頻率）採集的樣本數。為簡單起見，我們將使樣本之間的時間間隔相等。該時間間隔稱為取樣間隔 si，它是基本週期時間除以取樣數 N.因此，si = TN
• 基頻 f0，即 1T。基頻是重複模式的頻率或波長的長度。在之前的波浪中，基頻為 12π。波分量的頻率必須是基頻的整數倍。f0 稱為一次諧波，二次諧波為 2 * f0，第三次為 3 * f0 等。

repeat.xs     <- seq(-2*pi,0,pi/100)
wave.3.repeat <- 0.5*sin(3*repeat.xs) + 0.25*sin(10*repeat.xs)
plot(xs,wave.3,type="l")

title("Repeating pattern")
points(repeat.xs,wave.3.repeat,type="l",col="red"); 
abline(h=0,v=c(-2*pi,0),lty=3)

http://i.stack.imgur.com/BDauN.jpg

這是一個 R 函式，用於繪製給定傅立葉級數的軌跡：

plot.fourier <- function(fourier.series, f.0, ts) { 
                        w <- 2*pi*f.0 trajectory <- sapply(ts, function(t) fourier.series(t,w)) 
                        plot(ts, trajectory, type="l", xlab="time", ylab="f(t)"); 
                        abline(h=0,lty=3)}